大数据之数学类知识基础


数学相关的知识:集合:是指具有某种特定性质的事物的总体,组成集合的事物称为元素。
 通常使用大写表示集合,小写表示元素;列举法,描述法
 列举法:A={a1,a2,a3,…,an},a1∈A
 描述法:B={x|x^2-1=0},{x|x具有的性质},方程的解即是组成B集合元素函数
奇偶函数:f(-x)=-f(x),f(x)=f(-x)
初等函数:闭区间连续函数的性质有界性与最大值和最小值定理
区间I上有定义的f(x),x0∈I,使得对于任一x∈I,都有f(x)≤f(x0),f(x0)≥f(x),即f(x0)是f(x)在区间I上的最大值和最小值。导数
切线问题,在曲线上取一点M(x0,y0),当在曲线取另外一点N任意变化,但直线与曲线线切时,即相交于一点,|MN|->0,

MN直线的斜率:tan=(y-y0)/(x-x0)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
既有但x->x0时此时直线与曲线线切 f `(x0)=lim(△y/△x)=lim [ f(x0+△x) – f(x0)] / △x
 也可记作:y*|x=x0 ,dy/dx |x=x0
导数几何意义:切线的斜率常用初等函数导数求导法则:复合函数求导
[ u(x) v(x) ] ‘ =u'(x) v'(x)
[ u(x)v(x) ] ‘ =u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
[ u(x) / v(x) ] ‘= [ u'(x)v(x) – u(x)v'(x) ] / v^2(x)
dy/dx=(dy/du)*(du/dx)微分定义

设此薄片的边长为x0,面积为A,由于薄片受温度变化的影响时面积发生改变,对应长度增加△x,此时面积对应增加△A
△A=(x0+△x)^2 – x0^2=2×0△x + (△x)^2
==>一般的:△y=A△x + 0(△x)—>替代(△x)^2即(△x)很小时,
当△x高阶无穷小时A≠0,△y=A△x
函数表示为:△y=f(x0+△x) – f(x0)=A△x + 0(△x),称函数y=f(x)在点x0是可微的,而A△x叫做函数在点x0相应于自变量△x的微分,记作dy ,dy=A△x
当△x–>0时;△y/△x=A+ o(△x)/ 香港云主机△x ==>A=lim (△y/△x)=f ‘(x0)由此可见函数f(x)在x0处可微的充分必要条件是函数在点x0处可导:dy=f ‘(x0)
△x–>dy=f ‘(x)dx偏导数
 研究一元函数时,我们从研究函数变化率引入了导数概念,对于多元函数同样研究它的变化率,但多元函数的自变量不止一个,因变量与自变量比一元函数复杂多。这时自变量当个逐一考虑,另外的自变量当做常数考虑。这时的导数称为偏导数。与一元函数定义类似。

 对应一元的微分,多元引入全微分:dz=(∂z/∂x)△x+(∂z/∂y)△y :△x–>dx
 二元函数的极值问题,一般可以利用偏导数来解决,跟一元类似处理。多元函数与一元函数类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值例如:某厂要用钢板做成一个体积为2立方米的有盖长方形水箱。问当长宽高各取什么样的尺寸才最省材料?
 设长x m,宽y m,高为2/(xy)
 A=2( xy+y2/(xy) +x2/(xy) ),(x>0,y>0)
 Ax=2(y-2/(x^2))=0,Ay=2(x-2/(y^2))=0==>x y的值为了确定时间与刀具厚度的关系,描点法在直角坐标系观察数据

图中点大致接近于直线,线性负相关,可以设:f(t)=at+b,a,b常数
 因为这些点本来就不在一条直线上,那么只能要求函数在实验各点的取值尽量与实验的结果相差都很小,即要使各点误差最小:▲=yi-f(ti) (i=0,1,2,…7)
是否可以通过偏差求和来保证每个偏差最小:∑[yi-f(ti)] (i=0,1,2,…7) ?,从图中可以看出数据点分布在直线两侧,若通过求和方法,偏差有正负之分,会相互抵消。可通过取绝对值避免抵消偏差:∑ |yi-f(ti)]| (i=0,1,2,…7),但不便于分析讨论。任何实数的平方都是正数或零:M=∑[yi-f(ti)]^2 (i=0,1,2,…7) 这种方法即最小二乘法。
 这时即求何时M取最小值,a,b为何值:由于yi,ti已知,把函数归结为M=M(a,b)求解,自变量看作a,b:上述的偏导数极值讨论:
 Ma(a,b)=0
 Mb(a,b)=0

 此时计算出a,b相关项即可求出:y=at+b**向量:既有大小又有方向(矢量)
向量的大小叫做向量的模;注这里粗体表示向量,i, j, k空间直角坐标系单位向量
向量线性运算:起点–>终点

a+b=AB+BC=c
b+a=AD+DC=AC
AB=AO+OB=OBOA=ba
a=(ax,ay,az) b=(bx,by.bz)==> a=axi+ayj+azk
a+b等于对应坐标相加向量的模-勾股定理

r=(x,y,z)=OM ,OP=xi ,OQ=yi ,OR=zi
OM=OP+OQ+OR
|r|=|OM|=√[|OP|^2+|OQ|^2+|OR|^2 ]
|r|=√x^2+y^2+z^2对数运算
性质:
linux中使用:矩阵行列式运算高阶转换为低阶3–》2
在三阶行列式中,将元素aij所在的第i行和第j列划去后,剩下的元素按元次序构成二阶行列式,称为aij的代数余子式,记为Mij,余子式前再冠之符号(-1)的(i+j)次方

则三阶行列式的值等于该行列式的任意一行或一列的所有元元素与他们的代数余子式乘积之和。
克拉默法则解线性方程
高斯消元法,n个未知变量和方程如何求解
注:克拉默法则只适用于未知数的个数与方程的个数相等的线性方程组,若不相等时不适用该法则。
推论:如果齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式D必须等于0.

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